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数学笔记19——数值积分。数学笔记19——数值积分。

2018年9月19日 - 中甲报道

嗬是数值积分

  数值积分是计量定积分数值的章程及辩护。在数学分析中,给定函数的定积分的计算不连续实惠之。许多定积分不克为此就解的积分公式得到精确值。数值积分是运黎曼积分等数学概念,用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助被电子计算设备,数值积分可以快而中地算复杂的积分。

  数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的计成立于牛顿-莱布尼兹公式之上。然而,原函数可以用初等函数表示的函数为数不多,大部分底可积函数的积分无法用新当函数表示,甚至无法来分析表达式。例如常见的正态分布函数:

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的原函数就无法用新当函数表示。

  不仅如此,在群实在用中,只能解积分函数在某些特定点的取值,比如天测量中之气温、湿度、气压等,医学测量中之血压、浓度等等。另外,积分函数发或是有微分方程的清除。由于许多微分方程只能数值求解,因此只好解函数在某些点达的取值。这时是无力回天用要原函数的计计算函数的积分的。

  另外,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,牛顿-莱布尼兹公式不再适用,只能使还常见的格林公式要斯托克斯公式,以转账为比较逊色维数上的积分,但只能用来少数景象。因此,只能用数值积分计算函数的接近似值。

好家伙是数值积分

  数值积分是计算定积分数值的法子以及申辩。在数学分析中,给定函数的定积分的计不总是实惠的。许多定积分不可知就此已清楚的积分公式得到精确值。数值积分是动黎曼积分等数学概念,用数值逼近的道近似计算给定的定积分值。借助被电子计算设备,数值积分可以长足使有效地精打细算复杂的积分。

  数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的主意成立于牛顿-莱布尼兹公式之上。然而,原函数可以用初等函数表示的函数为数不多,大部分底可积函数的积分无法用新当函数表示,甚至束手无策来分析表达式。例如常见的正态分布函数:

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的原函数就无法用新当函数表示。

  不仅如此,在诸多实在运用被,只能解积分函数在某些特定点的取值,比如天测量中之气温、湿度、气压等,医学测量中之血压、浓度等等。另外,积分函数发或是某个微分方程的铲除。由于多微分方程只能数值求解,因此不得不解函数在少数点及的取值。这时是无法用要原函数的艺术算函数的积分的。

  另外,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,牛顿-莱布尼兹公式不再适用,只能用更宽泛的格林公式要斯托克斯公式,以转账为于逊色维数上之积分,但不得不用来少数状况。因此,只能采用数值积分计算函数的近似值。

数值积分的宽广公式

数值积分的广大公式

矩形公式

  就是大规模的黎曼及,在割小矩形时,可挑选使用左矩形或右手矩形。

  左矩形公式:

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  右矩形公式:

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  左右矩形公式的区别如下图所示:

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左矩形公式

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右边矩形公式

矩形公式

  就是大面积的黎曼和,在割小矩形时,可选以左矩形或右手矩形。

  左矩形公式:

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  右矩形公式:

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  左右矩形公式的分别如下图所示:

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左矩形公式

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右边矩形公式

梯形公式 

  和矩形公式不同,梯形公式直接拿沾总是,当Δx→∞时,这看起又仿佛于跟真正面积:

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梯形公式 

  及矩形公式不同,梯形公式直接拿触及总是,当Δx→∞时,这看起再次仿佛于与忠实面积:

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辛普森公式

  辛普森公式是重高级并且于实际被精确度更胜似之公式,它的核心思想是面积≈
底边长 ×
平均高度。高度是发出且重之,为了计算平均高度,试图用点用抛物线相连,每个抛物线连接三独相邻的触发:

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  这里直接为有结果。上图从x0到x2的面积可计为:

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  总面积:

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辛普森公式

  辛普森公式是更尖端并且在实质上被精确度更胜之公式,它的核心思想是面积≈
底边长 ×
平均高度。高度是产生且重的,为了计算平均高度,试图用点用抛物线相连,每个抛物线连接三个相邻的点:

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  这里一直叫出结果。上图从x0到x2的面积可计为:

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  总面积:

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数值积分的使

数值积分的动

示例1

  计算y = 1/x以x = 1和 x =
2之间和x轴围成的面积:

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  下面是差计算办法的相比。

  实际面积:

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  梯形公式:

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  辛普森公式:

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  这个例子中,辛普森公式远较梯形公式精确,实际上,|真实值
– 辛普森值| ≈ (Δx)4,如果Δx =
0.1,辛普森值将那个类似真实值。

示例1

  计算y = 1/x以x = 1和 x =
2之间及x轴围成的面积:

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  下面是差计算办法的相比。

  实际面积:

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  梯形公式:

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  辛普森公式:

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  这个例子中,辛普森公式远较梯形公式精确,实际上,|真实值
– 辛普森值| ≈ (Δx)4,如果Δx =
0.1,辛普森值将那个类似真实值。

示例2

  用梯形公式和辛普森公式估算
betway体育 29,Δx=π/4

  梯形公式:

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  辛普森公式:

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  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文为攻、研究及享受为主,如得转载,请联系自身,标明作者及出处,非商业用途! 

 

示例2

  用梯形公式和辛普森公式估算
betway体育 32,Δx=π/4

  梯形公式:

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  辛普森公式:

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  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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