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数学笔记23——部分分式。数学笔记23——部分分式。

2018年9月19日 - 中甲报道

  求解被积函数是一些分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)及Q(x)凡有关x多项式。如果无能够要来立即类似积分的原函数,结果将让人沮丧,现在咱们设试图找一个管用之法门求解这仿佛题材。

  求解被积函数是有分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)暨Q(x)凡有关x多项式。如果无能够要出就好像积分的原函数,结果将让人沮丧,现在咱们而试图找一个管用之办法求解这好像题材。

选定系数法

图片 1

  这个可怜爱:

图片 2

  但是如果将该描绘成:图片 3 看起就是无那么好求解了。这即要求我们会错开丢一部分分式的装,也就算是拓展部分分式,变成我们熟悉的被积函数。

  首先针对吃积函数的分母进行因式分解,利用初中的十字相乘法:

图片 4

  再将那拆分为新的等式:

 图片 5

  最后更请出A和B,这要一些艺。现用等式两边都乘以x
– 1, 以便消去其中一个分式的分母:

图片 6

  将x =
1代入等式,这样虽可以消去B的分式,直接求得A:

 图片 7

  用同一的点子而求得B = 3。于是:

 图片 8

  掩盖法能够工作务必满足个别独标准化:

  1. Q(x)克吃坐是讲;
  2. P(x)之万丈次数 <
    Q(x)的参天次数

选定系数法

图片 9

  这个大容易:

图片 10

  但是若用那状成:图片 11 看起便不那么容易求解了。这便要求我们会错开丢一部分分式的伪装,也不怕是开展部分分式,变成我们熟悉的被积函数。

  首先针对受积函数的分母进行因式分解,利用初中的十字相乘法:

图片 12

  再用那个拆分为新的等式:

 图片 13

  最后再次请出A和B,这需要一些技能。现将等式两度还乘以x
– 1, 以便消去其中一个分式的分母:

图片 14

  将x =
1代入等式,这样就可消去B的分式,直接求得A:

 图片 15

  用同的措施可求得B = 3。于是:

 图片 16

  掩盖法能够工作得满足个别个原则:

  1. Q(x)能够让为是解说;
  2. P(x)底危次数 <
    Q(x)的最高次数

拓展部分分式

图片 17

  这里不能够直接开展成:图片 18,这是无力回天求解的。对于分母是高次项之一些分式,其进行的形状应该型而:

 图片 19

  所以:

图片 20

  这种方法无克求解A,因为没法消除B项。但是得行使古老的代表数拟求解,随便找找一个数字,代入即可,这里让x
= 0,等式变为:

图片 21

  最终:

图片 22

开展部分分式

图片 23

  这里不可知直接进行成:图片 24,这是力不从心求解的。对于分母是高次桩的局部分式,其进展的造型应该型而:

 图片 25

  所以:

图片 26

  这种措施不能够求解A,因为没法消除B项。但是可采取古老的代数学求解,随便找一个数字,代入即可,这里教x
= 0,等式变为:

图片 27

  最终:

图片 28

无法线性展开的高次分式

  将分母的大多项式因式分解后,如果每个因式的参天次项都是1差,则称该多项式可以线性展开,如
x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x +
2),对于非克线性展开的大多件分式如何求解呢?

 图片 29

  首先是仍是因式分解:

 图片 30

  然后要将有些分式展开,与之前不同,分子要参加一糟糕项:

 图片 31

  用选定系数法求出A:

 图片 32

  接下要千方百计求解B和C,先拿分母全部消去:

图片 33

  这我们观察等式最高次项的次数,右侧展开后会得Ax2

 图片 34

  由于省略号表示的表达式中将不会见出现x2,故B
= 1/2,代入可求得C = 1/2

  最后求解积分:

 图片 35

  现在当的虽是积分问题了,所以并无是说有的分式展开就顺。第一组成部分大轻求解,答案是(ln|x

图片 36

  最终:

 图片 37

无法线性展开的高次分式

  将分母的大半项式因式分解后,如果每个因式的嵩次项都是1蹩脚,则称该多项式可以线性展开,如
x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x +
2),对于非可知线性展开的大都宗分式如何求解呢?

 图片 38

  首先是仍是因式分解:

 图片 39

  然后若将一些分式展开,与事先不同,分子要投入一潮项:

 图片 40

  用选定系数法求出A:

 图片 41

  接下要千方百计求解B和C,先拿分母全部消去:

图片 42

  这我们观察等式最高次项的次数,右侧展开后会见沾Ax2

 图片 43

  由于省略号表示的表达式中将不见面出现x2,故B
= 1/2,代入可求得C = 1/2

  最后求解积分:

 图片 44

  现在面的即使是积分问题了,所以并无是说有些分式展开就万事大吉。第一有的老爱求解,答案是(ln|x

图片 45

  最终:

 图片 46

拍卖假分式

  如果P(x)的次数超过Q(x)的次数,多项式就是一个假分式,这类题材设将那个化真分式就可处理。

 图片 47

  与部分分式相反,第一步是算多项式:

 图片 48

  用除法将其改为真分式,这个历程实际上是以小学学了之除法竖式应用为多项式:

图片 49

  商是x – 1,余数是3x – 2,所以:

 图片 50

  又见到了一部分分式:

 图片 51

拍卖假分式

  如果P(x)的次数超过Q(x)的次数,多项式就是一个假分式,这仿佛题目而拿其改为真分式就好拍卖。

 图片 52

  与有分式相反,第一步是精打细算多项式:

 图片 53

  用除法将那变为真分式,这个进程实际上是将小学学了的除法竖式应用被多项式:

图片 54

  商是x – 1,余数是3x – 2,所以:

 图片 55

  又望了一些分式:

 图片 56

至上复杂的积分

  被积函数作为片分式展开:

 图片 57

  一共发生12单未知数,正好和有些分式的最高次数相同。这里并无打算求解这些未知数,只是用该列表示我们好处理千头万绪的发理数积分。

  然而即便展开了部分分式,仍然会面临复杂的积分处理。这个例子将见面碰到下面的积分:

 图片 58

  一共发12个未知数,正好和部分分式的万丈次数相同。这里连无打算求解这些未知数,只是用该列表示我们好拍卖千头万绪的有理数积分。

  然而即便展开了有些分式,仍然会面临复杂的积分处理。这个事例将会晤赶上下面的积分:

图片 59

图片 60

  没完没了了,应该放弃算,交给计算机处理,只要知道计算思路即可。

极品复杂的积分

  被积函数作为片分式展开:

 图片 61

  一共有12独未知数,正好与组成部分分式的嵩次数相同。这里连无打算求解这些未知数,只是用该列表示我们得以处理千头万绪的产生理数积分。

  然而即便展开了有的分式,仍然会面临复杂的积分处理。这个例子将会见遇见下面的积分:

 图片 62

  一共发生12只未知数,正好与一部分分式的参天次数相同。这里并无打算求解这些未知数,只是用该列表示我们得以拍卖复杂的出理数积分。

  然而即便展开了有分式,仍然会面临复杂的积分处理。这个事例将见面逢下面的积分:

图片 63

图片 64

  没完没了了,应该放弃算,交给计算机处理,只要掌握计算思路即可。

示例

示例

示例1

图片 65

图片 66

示例1

图片 67

图片 68

示例2

图片 69

图片 70

示例2

图片 71

图片 72

示例3

图片 73

 图片 74

图片 75

tanθ=2x

图片 76

示例3

图片 77

 图片 78

图片 79

tanθ=2x

图片 80

示例4

 图片 81

图片 82

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文为读书、研究和分享为主,如需转载,请联系自身,标明作者及出处,非商业用途! 

示例4

 图片 83

图片 84

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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