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多变量微积分笔记1——直线与曲线之参数方程。多变量微积分笔记1——直线与曲线之参数方程。

2018年9月19日 - 中甲报道

嘿是参数方程

  一般地,在面直角坐标系中,如果曲线上无限制一点的坐标x、y都是某个变数t的函数:

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  并且对t的每一个同意的取值,由方程组确定的点(x,
y)都以马上漫漫曲线上,那么这方程就叫曲线的参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给闹点坐标中涉及的方程叫普通方程。

  例如当运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是快、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比较用便方程更为直白便捷。对于缓解要最好要命射程、最要命高度、飞行时刻还是轨道等一律多元题材还比好。有些要而比较复杂的曲线(例如摆线),建立它们的一般性方程比较紧,甚至无可能,有矣参数方程,就足以挺轻表达。

嗬是参数方程

  一般地,在面直角坐标系中,如果曲线上自由一点之坐标x、y都是某某变数t的函数:

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  并且对t的各个一个许的取值,由方程组确定的点(x,
y)都于就漫漫曲线上,那么这方程就称为曲线之参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接为有点坐标中关系的方程叫普通方程。

  例如当运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是快、位置等。用参数方程描述运动规律时,常常比较用一般方程更为直白便捷。对于解决要最好酷射程、最酷高度、飞行时或者轨道等同样多重题材都较完美。有些根本而较复杂的曲线(例如摆线),建立它们的便方程比较困难,甚至无可能,有了参数方程,就好好易表达。

直线

直线

空中受到的直线

  空间受到点滴只面的鱼龙混杂是相同漫长直线,如果摒弃开平面,直线可看成是点匀速直线运动的轨道。

  通过个别触及规定一长长的直线,此外,已了解一点同同直线平行的向量也克确定一漫漫直线。

空间受到之直线

  空间中少单面的交集是同长长的直线,如果遗弃开平面,直线可当做是沾匀速直线运动的轨道。

  通过个别触及确定一条直线,此外,已知道一点与同直线平行的向量也会确定一长条直线。

直线的参数方程

  一个沾当上空受到匀速直线运动,它在t =
0和t = 1天天经过Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3,
-1)两沾,Q(t)是该点关于时间t的函数:

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  如达到图所示,点当t =
0时刻的职位Q0 = Q(0) = (-1, 2, 2),t =
1天天的职务Q1 = Q(1) = (1, 3,
-1),那么在任意t时刻,Q的岗位Q(t)是哪里?

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  现在用问题易为向量:

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  由于是匀速运动,所以运动距离和时改为正比:

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  随着岁月之增进,向量也以提高。由于Q(t)是空间内的触及,所以:

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  这即是拖欠直线的参数方程,其源是Q0Q(t)
= tQ0Q1

  如果t = 2,则在该时刻Q(2) = (3, 5,
-4)

直线的参数方程

  一个触及于半空中中匀速直线运动,它于t =
0和t = 1随时经过Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3,
-1)两触及,Q(t)是该点关于时间t的函数:

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  如达到图所示,点于t =
0时刻的职务Q0 = Q(0) = (-1, 2, 2),t =
1时时的职Q1 = Q(1) = (1, 3,
-1),那么以任意t时刻,Q的位置Q(t)是何?

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  现在将题目易为向量:

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  由于是匀速运动,所以运动距离和时光变为正比:

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  随着时间的加强,向量也将加强。由于Q(t)是空中内之接触,所以:

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  这虽是拖欠直线的参数方程,其来源是Q0Q(t)
= tQ0Q1

  如果t = 2,则以拖欠时刻Q(2) = (3, 5,
-4)

直线与平面的涉嫌

  上面的少数个点Q0 = (-1, 2,
2)和Q1 = (1, 3, -1)对于平面x + 2y + 4z =
7来说,位置关系是呀?在面的两侧还是一侧?是否当面上?

  将Q0和Q1取代入平面方程:

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  由此可见Q0和Q1免以面及,它们分属于面两侧,向量Q0Q1以越过平面,与平面有唯一的交点,这个交点又是啊?

  上节已经求得了直线的参数方程Q(t) =
(2t-1, t+2, -3t+2),直线与平面的交点将满足:

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  将直线参数方程代入平面方程也或出现有众多脱或无解的气象,此时直线与平面没有唯一交点,直线或于面及或同平面平行。

  总结一下,把直线方程Q(t) = (x(t),
y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c =
d,如果能够算计出t的绝无仅有值,直线穿过平面;如果博一个等于d的常数,则直线在面及;如果获得一个免等于d的常数,则直线与平面平行。

直线与平面的涉嫌

  上面的蝇头个点Q0 = (-1, 2,
2)和Q1 = (1, 3, -1)对于平面x + 2y + 4z =
7来说,位置关系是呀?在面的两侧还是一侧?是否当面及?

  将Q0和Q1取代入平面方程:

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  由此可见Q0和Q1非在面及,它们分属于面两侧,向量Q0Q1将穿越平面,与平面有唯一的交点,这个交点又是啊?

  上节都求得了直线的参数方程Q(t) =
(2t-1, t+2, -3t+2),直线与平面的交点将满足:

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  将直线参数方程代入平面方程也或出现有不少消或无解的情景,此时直线与平面没有唯一交点,直线或在面及或同平面平行。

  总结一下,把直线方程Q(t) = (x(t),
y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c =
d,如果会算计出t的绝无仅有值,直线穿过平面;如果博一个等于d的常数,则直线在面及;如果获得一个休等于d的常数,则直线与平面平行。

曲线

  对于平面或空中内的任意运动,同样好就此参数方程表示。

曲线

  对于平面或空中内的自由运动,同样可就此参数方程表示。

摆线的参数方程

  摆线是相同种有名的曲线,它讲述了当车匀速直线运动时,车轮上点的移动轨迹。如下图所示,P是半径为a的轮子边缘上的一些,刚开时以原点,当轮子为右侧滚动后,P点将跟着转动:

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  我们关注之问题是轮滚动后P的轨迹,也不怕是t时刻P点的位置。如果P点是岗位关于时间的函数,用参数方程可以象征也Q(t)
= (x(t),
y(t))。这表示从岁月的角度来代表位置,然而日子不要最好的参变量,因为P的轨迹是同工夫无关的,即使车速变快,P的活动轨迹也无见面转。我们注意到,当轮子匀速运动时,P的角度与日成正比: 

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  ∠θ和移动时间变成正比,如果θ超过2π,则相当给开始了一个初的周期,对于角度的运算,3π同π是同的。由此,可以以时刻替换为角度,也即是使车轮转动角度做参变量将取更简明的答案:

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  将车轮转换为达成图所显示之向量(向量可参看《线性代数笔记2——向量(向量简介)》),则向量OP的参数方程就可象征P点的走轨迹。

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  由于车轮是顺着地面转,且极初P的职位及O相同,所以于率先围时,OA
= PA的弧长(我承认在画时较随便,看起她并无对等):

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  实际上,无论第几缠绕,上式都立。由于都知道了OA和AB的长度,可以汲取相应的向量:

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  现在只是待要求来向量BP即可。这里并不需要知道点B和点P的坐标,由于向量只描述了尺寸和大势,所以向量和具体位置无关,因此好通过将向量BP运动求得BP

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  最终:

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摆线的参数方程

  摆线是一样栽有名的曲线,它描述了当车辆匀速直线运动时,车轮上点的移位轨迹。如下图所示,P是半径为a的轮子边缘上的一些,刚开时以原点,当轮子为右侧滚动后,P点将随之转动:

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  我们关注之题材是车轮滚动后P的轨迹,也就算是t时刻P点的职务。如果P点是岗位关于时间的函数,用参数方程可以代表也Q(t)
= (x(t),
y(t))。这意味着从日的角度来代表位置,然而日子毫无最好之参变量,因为P的轨迹是同工夫无关之,即使车速变快,P的走轨迹也无见面变动。我们注意到,当轮子匀速运动时,P的角度以及岁月变成正比: 

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  ∠θ和移动时变为正比,如果θ超过2π,则一定给始了一个新的周期,对于角度的演算,3π和π是相同之。由此,可以拿日替换为角度,也不怕是采用车轮转动角度做参变量将赢得重新简单的答案:

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  将车轮转换为上图所展示之向量(向量可参考《线性代数笔记2——向量(向量简介)》),则向量OP的参数方程就好表示P点的移位轨迹。

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  由于车轮是挨地面转,且最初P的职务与O相同,所以于率先围时,OA
= PA的弧长(我承认在绘画时比较自由,看起它并无齐):

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  实际上,无论第几缠绕,上式都建。由于曾明白了OA和AB的长短,可以得出相应的向量:

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  现在单独需要要求有向量BP即可。这里并不需要知道点B和点P的坐标,由于向量只描述了尺寸以及大势,所以向量和具体位置无关,因此得以由此以向量BP移动求得BP

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  最终:

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摆线的斜率

  以轱辘滚动一缠绕后,点P回到x轴,开始上下一个周期,两独周期相交于少数。有一个值得关注的题目是,如果以拖欠点处作轨迹曲线的切线,切线的斜率是呀?如下图所展示,就是计算P5处轨迹曲线之切线:

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  为了简化问题,将当轮子看作单位到家,此时a =
1,

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  在P5处,θ=2π,斜率:

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  这尚无意义,但足测算极限:

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  因此,在P5处在,斜率趋近于∞,也就是来一致长达垂直于x轴的切线。

  也可使用泰勒展开式计算斜率(泰勒级数而参照《数学笔记31——幂级数和泰勒级数》):

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摆线的斜率

  于轱辘滚动一缠后,点P回到x轴,开始上下一个周期,两独周期相交于某些。有一个值得关注的题材是,如果当拖欠点处作轨迹曲线的切线,切线的斜率是啊?如下图所展示,就是计算P5高居轨迹曲线之切线:

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  为了简化问题,将当轮子看作单位到,此时a =
1,

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  在P5处,θ=2π,斜率:

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  这莫意义,但足以算极限:

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  因此,在P5处于,斜率趋近于∞,也不怕是发出雷同漫漫垂直于x轴的切线。

  也足以以泰勒展开式计算斜率(泰勒级数而参照《数学笔记31——幂级数及泰勒级数》):

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示例

示例

示例1

  两长直线L1和L2是否相交,如果相交,其交点是什么?

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  可以用过去底知将参数方程转换为平常方程:

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  方程组有唯一破,x = 1, y =
2,两长直线相交于(1, 2)

  也可以一直用参数方程求解。如果简单久直线相交,参数方程组有唯一破:

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  将解代入参数方程:

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  两长直线相交于(1, 2)

示例1

  两漫漫直线L1和L2是否相交,如果相交,其交点是呀?

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  可以用过去的知将参数方程转换为平常方程:

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  方程组有唯一破,x = 1, y =
2,两漫漫直线相交于(1, 2)

  也足以直接用参数方程求解。如果个别长长的直线相交,参数方程组有唯一排:

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  将解代入参数方程:

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  两漫漫直线相交于(1, 2)

示例2

  直线L经过P(0, -1, 1)和Q(2, 3,
3)两触及,直线与平面2x + y – z = 1的关系?

  设直线方程是L(x(t), y(t),
z(t)),则:

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  将L的参数方程代入平面方程:

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  t有唯一排,指向与平面相交。将t代入直线的参数方程,交点是(1,
1, 2)

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文为念书、研究及分享为主,如得转载,请联系自身,标明作者及出处,非商业用途! 

 

示例2

  直线L经过P(0, -1, 1)和Q(2, 3,
3)两碰,直线与平面2x + y – z = 1的涉嫌?

  设直线方程是L(x(t), y(t),
z(t)),则:

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  将L的参数方程代入平面方程:

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  t有唯一排,指向与平面相交。将t代入直线的参数方程,交点是(1,
1, 2)

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文为念书、研究与享用为主,如要转载,请联系自己,标明作者与出处,非商业用途! 

 

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